【書評】『バナッハ＝タルスキのパラドックス 〜豆と太陽は同じ大きさ？〜』

今年読んだ中で、最高に面白い科学の本。
というか、もはやこれを科学といっていいのだろうか。
なんたって、

【定理】豆をいくつかに分割して、並び替えると太陽の大きさにできる

なんていう主張を、カントールからバナッハ、ゲーデル、エルディッシュ（まさに２０世紀の天才博物館！）を援用しながら、ガチで証明しちゃうんだから。
本書のテーマは有名な「バナッハ=タルスキーの定理」。
しかし、専門書じゃなくて、一般向けの書籍ででやっちゃうんだからスゴい。
（事前知識は高校生の数Ⅱぐらい？実数と有理数ぐらいを知ってれば十分）

詳しく書くには、このブログには十分な余白がないので辞めておくが、ポイントは２つ。
ひとつは「無限の性質」を巧妙に使っているところ。
もう一つは「選択公理」だ。

「選択公理」って言うと、イカツイ印象を受けるが内容はシンプル。
というか、みんな無意識にやっている。

「アイドルグループ【A】【K】【B】【候補生】【N】【M】【B】【H】【K】・・・・とあるとき
人により好みは違うが、グループ内で自分にとって一番かわいい子が選べる」
※ただし、上で二度表れるＢ同士、K同士は別のグループとする

つまり、チームＡは篠田麻里子だろ。
チームＫは自明、ともちん。
チームＢは・・・迷うが柏木由紀。

みたいな感じで。

こんな「当たり前」なことが、数学の世界では「選択公理」という名前がつく大技。
この真偽をめぐり、５０年ぐらい数学業界は大喧嘩していた。
それを、「まぁまぁ」と、なだめたのがフィールズ賞を受賞したコーエン。
そのあたりの歴史を概観できてしまう、読みものとしての魅力が本書の最大の特徴。

●なぜ、バナッハ＝タルスキの定理が現実に応用されないのか？
これを使えば、あなたの金の玉をより大きな金の玉にできるのでは？
エネルギー問題も、食料問題もすべて解決するのではないのか？
残念ながらそれは実現できていない。
それは、この定理で示されるように、無限に細かくできる「魔法のナイフ」をまだ作れないからだ。

これを聞いて、現実的な方は思うかもしれない。
そもそもこの世界は有限、宇宙の原子を集めてもたったの１０の８０乗個しかないのに、無限なんて概念を考えるのは意味がない。と

●では、このバナッハタルスキ定理は意味がないのか？

工学的にはそうかもしれないが、私はそうは思わない。
そんな「魔法のナイフ」が、人間には作れなくても自然界にないとは言い切れない。

それこそ、何もない「無」から宇宙を作ってしまった宇宙。
豆ひとつを大きくすることぐらいアサメシ前だろう。
そこに、バナッハタルスキ定理のアイデアが使われていないと誰が証明できよう？

●夢と科学の立場が逆転し始めている

かつて、数学・物理は人間の想像力を追いかける道具だった。
「空が飛べればいいのに」
「夜も明るければいいのに」
人間の想像力を埋め合わせるために使われたことを思い出す。

ところが、ここ１００年ぐらいでその立場が逆転し始め
今は人間の想像力が追いついていない状況。

天才・藤子不二夫でもＳＦ『ドラえもん』の中で描けたポケットは４次元。
しかし、私たちの住む世界の本当の姿は１１次元以上であることを数学は示唆する。

マーク・トウェインがうまく伝えている。
「真実はフィクションよりも奇妙である。
なぜならフィクションは可能性をもっていなければならないからである。
しかし真実はそうではない」

言いえて妙。
まさに、宇宙は
「君、もっと現実的な提案をしてみたまえ」
というツッコミを無視して、好き勝手にストーリーを作れるのだから。

だけど、今後、人間にとって数学は想像力の推進物になるかもしれない。
「まぁ、黙ってついてきなよ。
君が見たことも、聞いたことも、食べたこともないような、面白いモノを見せてやるから」
ってな感じで。